Autores: Andueza y Soto.

Distribución Normal de probabilidad

Una distribución muy importante es la Distribución Normal o de Gauss. La ecuación matemática de la función de Gauss es la siguiente:

P(x)=12π−−√σ⋅e−(μ−x)22σ2

La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del universo μ.       

La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a σ, la desviación standard de la población.

El área total debajo de la curva es igual a 1. El área debajo de la curva comprendida entre μ - σy μ + σ es aproximadamente igual a 0,68 del área total; entre μ - 2σ y μ + 2σ es aproximadamente igual a 0,95 del área total:

Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución normal son y (Media y desviación standard de la población). Con estos dos parámetros sabemos dónde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cuál es su ancho (Determinado por la desviación standard).

Cuando nos encontramos con una población de observaciones, si podemos afirmar que la distribución correspondiente es normal, sólo hace falta estimar la media y la desviación standard para tener toda la información necesaria acerca de dicha población.

La Distribución Normal Standard

Podemos escribir la fórmula de la distribución normal de la siguiente manera:

P(x)=12π−−√σ⋅e−(μ−x)22σ2=12π−−√⋅e−12⋅z2conz=μ−xσ

Esta es la fórmula de la Distribución Normal Standard o Tipificada. Como podemos observar, en ella hay un sólo parámetro, Z, que incluye al promedio y la desviación standard de la población. Esta función está tabulada. 

         Al calcular Z, lo que estamos haciendo, en realidad, es un cambio de variable por el cual movemos la campana de Gauss centrándola en el 0 del eje X, y modificamos el ancho para que la desviación standard sea 1.

De esta manera tenemos tabulada una función de Gauss que no depende de cual sea el promedio y la desviación standard de nuestra población real. El cambio de variable hace que se conserve la forma de la función y que sirva para cualquier población, siempre y cuando esa población tenga una distribución normal.

Cuando queremos calcular las probabilidades para una población real, calculamos Z y entramos en la tabla de la función normal estandard.

Propiedades de la distribución normal:

La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar:

1. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

2. La curva normal es asintótica al eje de abscisas.  Por ello, cualquier valor entre  y  es teóricamente posible.  El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

3. Es simétrica con respecto a su media.  Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

4. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica ().  Cuanto mayor sea, más aplanada será la curva de la densidad.

5. El área bajo la curva comprendido entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95.  En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo.

6. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros  y  La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de  la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal.  Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva.  Cuanto mayor sea el valor de más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.  Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

Como se deduce de este último apartado, no existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza.  De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1.

Cálculo de probabiladades en distribuciones normales

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).

Φ(k) = P(z ≤ k)

Búsqueda en la tabla de valor de k

Unidades y décimas en la columna de la izquierda.

Céntesimas en la fila de arriba.

P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b 

Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K.

P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

p = K

Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.

Ejercicios Resueltos

Ejercicio Nº 1.

En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:

    P (4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

Ejercicio Nº 2.

La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 75 kg.

2.Más de 90 kg.

3.Menos de 64 kg.

4.64 kg.

5.64 kg o menos.

Ejercicio Nº 3.

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110. 

2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

Ejercicio Nº 4.

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

Baja cultura hasta 49 puntos.

Cultura aceptable entre 50 y 83.

Excelente cultura a partir de 84 puntos.

Ejercicio Nº 5.

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.